题目

题型：不详难度：来源：

某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为s．比赛时．某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v₀时，再以v₀做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ₀，如图所示，设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g．
（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；
（2）求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；
（3）整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v₀，而球拍的倾角比θ₀大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件．

答案

（1）在匀速运动阶段，有mgtanθ₀=kv₀
得k=

mgtanθ0

v0

（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为N′，有
N′sinθ-kv=ma
N′cosθ=mg
得tanθ=

a

g

+

v

v0

tanθ₀
（3）以速度v₀匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有F=

mg

cosθ0

球拍倾角为θ₀+β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a′，有
Fsinβ=ma′
设匀速跑阶段所用时间为t，有t=

s

v0

-

v0

2a

球不从球拍上掉落的条件

1

2

a′t²≤r
得sinβ≤

2rcosθ0

g( s v0 - v0 2a )2

答：（1）空气阻力大小与球速大小的比例系数k为

mgtanθ0

v0

；
（2）在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式为tanθ=

a

g

+

v

v0

tanθ₀；
（3）β应满足的条件为sinβ≤

2rcosθ0

g( s v0 - v0 2a )2

．