题目

题型：同步题难度：来源：

A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为r₁，B 的轨道半径为r₂，已知恒星质量为M，恒星对行星的引力远大于行星间的引力，两行星的轨道半径r₁<r₂.若在某一时刻两行星相距最近，试求：
（1）再经过多长时间两行星距离又最近？
（2）再经过多长时间两行星距离最远？

答案

解：
（1）A、B两行星在如图所示的位置时距离最近，这时A、B两行星与恒星在同一条圆半径上.A、B运动方向相同．A 更靠近恒星，A的转动角速度大、周期短如果经过时间t，A、B两行星分别与恒星连线的半径转过的角度相差2π的整数倍，则A、B与恒星又位于同一条圆半径上，两行星距离又最近。
设A、B两行星的角速度分别为ω₁、ω₂，经过时间t，A转过的角度为ω₁t，B转过的角度为ω₂t．A、B两行星距离最近的条件是：ω₁t-ω₂t=n·2π （n=1，2，3，…），恒星对行星的引力提供向心力，则
，即
由此得出
求得；
（2）如果经过时间t"，A、B两行星分别与恒星连线的半径转过的角度相差π的奇数倍，则A、B与恒星位于同一条直径上，两行星距离最远．
如果经过时间t"，A、B转过的角度相差π的奇数倍时，则 A、B相距最远，即：
ω₁t"-ω₂t"=（2k-1）π （k=1，2，3，…），
得