题目

题型：不详难度：来源：

理论推证表明，取离星球中心无穷远处为引力势能的零势点时，以物体在距离星球中心为r处的引力势能可表示为：E_p=-G

Mm

r

．G为万有引力常数，M、m表示星球与物体的质量，而万有引力做的功等于引力势能的减少量．
现已知月球质量为M、半径为R，探月飞船的总质量为m．月球表面的重力加速度为g，万有引力常数G．要将探月飞船从月球表面发送到离月球表面高度为H的环月轨道消耗的能量至少为E．
阿聪同学提出了一种计算此能量E的方法：消耗的能量由两部分组成，一部分是克服万有引力做的功W_引（等于引力势能的增加量）；另一部分是飞船获得的动能E_K=

1

2

mv²（v为飞船在环月轨道上运行的线速度），最后算出：E=

1

2

mv²+W_引，请根据阿聪同学的思路算出最后的结果（不计飞船质量的变化及其他天体的引力和月球的自转等影响）．

答案

由题意知：
W_引=△Ep=-G

Mm

(R+H)

-[-G

Mm

R

]=

GMmH

R(R+H)

              
飞船在轨道上：
G

Mm

(R+H)2

=m

v2

R+H

…①
所以：

1

2

mv2=

GMm

2(R+H)

 …②
所发射飞船消耗的能量至少为：
E=

1

2

mv2+W引=

GMm

2(R+H)

+

GMmH

R(R+H)

=

GMm(R+2H)

2R(R+H)

…③
另飞船在未发射时，在月球表面：G

Mm

R2

=mg；
所以：GMm=mgR² …④
④代入③有：E=

mgR(R+2H)

2(R+H)

答：要将探月飞船从月球表面发送到离月球表面高度为H的环月轨道消耗的能量至少为

GMm(R+2H)

2R(R+H)

或者

mgR(R+2H)

2(R+H)

．