题目

题型：不详难度：来源：

如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔．如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高．重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”．为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象．已知引力常数为G．
（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常．
（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在g与kg（k＞1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积．

答案

（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力

GMm

r2

=m△g①来计算，式中的m是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV②．
而r是球形空腔中心O至Q点的距离r=

d2+x2

③
△g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小．Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g′是这一改变在竖直方向上的投影△g′=

d

r

△g④
联立以上式子得△g′=

GρVd

(d2+x2) 3 2

，⑤
（2）由⑤式得，重力加速度反常△g′的最大值和最小值分别为
（△g′）_max=

GρV

d2

⑥
（△g′）_min=

GρVd

(d2+L2) 3 2

⑦
由题设有（△g′）_max=kg、（△g′）_min=g⑧
联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
d=

L

k 2 3 -1

，V=

L2kg

Gρ(k 2 3 -1)

答：（1）空腔所引起的Q点处的重力加速度反常是

GρVd

(d2+x2) 3 2

（2）此球形空腔球心的深度是

L

k 2 3 -1

，空腔的体积是

GρVd

(d2+x2) 3 2

．