题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，竖直平面内的 3/4 圆弧形光滑轨道半径为 R，A 端与圆心 O 等高，AD 为水平面，B 点为光滑轨道的最高点且在O 的正上方，一个小球在 A 点正上方某处由静止释放，自由下落至 A 点进入圆轨道并知通过 B 点时受到轨道的弹力为mg（从A点进入圆轨道时无机械能损失），最后落到水平面 C 点处．求：
（1）释放点距 A 点的竖直高度 h和落点 C 到 A 点的水平距离X
（2）如果将小球由h=R处静止释放，请问小球能否通过最高点B点，如果不能通过，请求出脱离圆轨道的位置E与O的连线与竖直方向夹角的正弦值．

答案

（1）小球通过最高点B时，由牛顿第二定律，有：
mg+

F

N

=

mv 2B

R

，又

F

N

=mg，解得

v

B

=

2gR

设释放点到A点高度为h，小球从释放到运动至B点的过程中，
根据动能定理，有：mg（h-R）=

1

2

m

v

2B

联立①②解得 h=2R，
由平抛规律R=

1

2

gt

2

，X=

v

B

t，联立解得x=2R，所以C点距A点距离△x=2R-R=R
即释放点距A点的竖直高度h为2R，落点C到A点的水平距离为R．
（2）小球到达B点时最小速度为v，有mg=

mv 2

R

，
若能到达最高点应满足mgR=

1

2

mv

2

+mgR，显然不可能成立，即不能到最高点．
设到最高点E的速度为

v

E

，E与O的连线与竖直方向夹角θ，由动能定理有mgR（1-cosθ）=

1

2

mv

2E

①，
在E点脱离轨道时有mgcosθ=

mv 2E

R

②
联立①②解得cosθ=

2

3

，所以sinθ=

1-(cosθ ) 2

=

5

3

即小球不能通过最高点E，小球脱离圆轨道的位置E与O的连线与竖直方向夹角的正弦值

5

3

．