题目

题型：绍兴二模难度：来源：

一端弯曲的光滑绝缘杆ABD固定在竖直平面上，如图所示，AB段水平，BD段是半径为R的半圆弧，有电荷量为Q（Q＞0）的点电荷固定在圆心O点．一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电小环套在光滑绝缘杆上，在水平外力作用下从C点由静此开始运动，到B点时撤去外力，小环继续运动，发现刚好能到绝缘杆的最高点D．已知CB间距为4R/3．（提示：根据电磁学有关知识，在某一空间放一电荷量为Q的点电荷，则距离点电荷为r的某点的电势为ϕ=k

Q

r

，其中k为静电力常量，设无穷远处电势为零．）
（1）求小环从C运动到B过程中，水平外力做的功；
（2）若水平外力为恒力，要使小环能运动到D点，求水平外力的最小值F₀；
（3）若水平外力为恒力，大小为F（F大于（2）问中的F₀），求小环运动到D点时，绝缘杆对环的弹力大小和方向．

答案

（1）小球从C运动到B，带电小环要克服电场力做功，克服电场做的功W_电等于电势能的增加，
则 W_电=

KQ

R

q-

KQ

5 3 R

，
所以W_电=

2KQq

5R

，
小球从C运动到B，设到B得速度为V_B，水平外力做的功为W，
则 W-W_电=

1

2

m

V

2B

小球从B到D过程中，带电小环在等势面上运动电场力不做功，设到D点的速度为V_D
则-2mgR=

1

2

m

V

2D

-

1

2

m

V

2B

又刚好到D点，则D点速度为V_D=0，
所以W=2mgR+

2KQq

5R

，
（2）小球要能运动到D点，则V_D≥0
由C运动到D点，F′•

4

3

R-W_电-2mgR=

1

2

m

V

2D

由此可以解得F′≥

3

2

mg+

3KQq

10R2

所以水平外力的最小值为F₀=

3

2

mg+

3KQq

10R2

．
（3）由C运动到D点，设D点速度为V_D，
F•

4

3

R-2mgR-

2KQq

5R

=

1

2

m

V

2D

小环运动到D点时，设绝缘杆对小环的弹力大小为F_N，方向指向圆心，

mV 2D

R

=F_N+mg-

KQq

R2

由此可得F_N=

8

3

F+

KQq

5R2

-5mg
讨论：
（a）若

8

3

F+

KQq

5R2

＞5mg，则弹力大小为

8

3

F+

KQq

5R2

-5mg，方向指向圆心．
（b）若

8

3

F+

KQq

5R2

=5mg，则弹力为零．
（c）若

8

3

F+

KQq

5R2

＜5mg，则弹力大小为5mg-（

8

3

F+

KQq

5R2

），方向背向圆心．