题目

题型：不详难度：来源：

如图，三个质点a、b、c质量分别为m₁、m₂、M（M≫m₁，M≫m₂），在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比为r_a：r_b=1：4，则它们的周期之比T_a：T_b=______，从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线有______次．

答案

万有引力提供向心力，则有：G

Mm1

r 2b

=m1ra

4π2

T 2a

，G

Mm2

r 2b

=m2rb

4π2

T 2b

；
所以T_a：T_b=1：8；
设每隔时间t，a、b共线一次，则（ω_a-ω_b）t=π，所以t=

π

ωa-ωb

；
故b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为：n=

Tb

t

=

Tb(ωa-ωb)

π

=Tb(

2

Ta

-

2

TB

)=

2Tb

Ta

-2=14．
故答案为：1：8，14．