题目

题型：北京期中题难度：来源：

用下图所示的水平传送带AB和斜面BC将货物运送到斜面的顶端。传送带AB的长度L=11m，上表面保持匀速向右运行，运行的速度v=12m/s。传送带B端靠近倾角θ=37°的斜面底端，斜面底端与传送带的B端之间有一段长度可以不计的小圆弧。在A、C处各有一个机器人，A处机器人每隔△t=1.0s将一个质量m=10kg的货物箱（可视为质点）轻放在传送带A端，货物箱经传送带和斜面后到达斜面顶端的C点时速度恰好为零，C点处机器人立刻将货物箱搬走。已知斜面BC的长度s=5.0m，传送带与货物箱之间的动摩擦因数μ₀=0.55，货物箱由传送带的右端到斜面底端的过程中速度大小损失原来的，g=10m/s²（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求：
（1）斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ；
（2）从第一个货物箱放上传送带A端开始计时，在t₀=3.0 s的时间内，所有货物箱与传送带的摩擦产生的热量Q；
（3）如果C点处的机器人操作失误，未能将第一个到达C点的货物箱搬走而造成与第二个货物箱在斜面上相撞。求两个货物箱在斜面上相撞的位置到C点的距离。（本问结果可以用根式表示）

答案

解：（1）货物箱在传送带上做匀加速运动过程，根据牛顿第二定律有μ₀mg =ma₀
解得a₀=μ₀g=5.5m/s²
由运动学公式v₁²=2a₀L
解得货物箱运动到传送带右端时的速度大小为v₁=11m/s
货物箱刚冲上斜面时的速度v₂=(1－)v₁=10m/s
货物箱在斜面上向上运动过程中v₂²=2a₁s
解得a₁=10m/s²
根据牛顿第二定律mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
解得μ=0.5
（2）3.0s内放上传送带的货物箱有3个，前2个已经通过传送带，它们在传送带上的加速时间t₁=t₂=2.0s；第3个还在传送带上运动，其加速时间t₃=1.0s
前2个货物箱与传送带之间的相对位移△s=vt₁-v₁t₁=13m
第3个货物箱与传送带之间的相对位移△s"=vt₃-v₁t₃=9.25m
前2个货物箱与传送带摩擦产生的总热量为Q₁=2μ₀mg△s=1430J
第三个货物箱与传送带摩擦产生的热量为Q₂=μ₀mg△s"=508.75J
总共生热Q＝Q₁+Q₂＝1938.75J
（3）货物箱由A运动到B的时间为2.0s，由B运动到C的时间为1.0s，可见第一个货物箱冲上斜面C端时第二个货物箱刚好冲上斜面。货物箱沿斜面向下运动，根据牛顿第二定律有mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
解得加速度大小a₂=2.0m/s²
设第一个货物箱在斜面C端沿斜面向下运动与第二个货物箱相撞的过程所用时间为t，有
v₂t-a₁t²+a₂t²=s
解得s≈0.69 s
两个货物箱在斜面上相遇的位置到C端的距离s₁=a₂t²=m≈0.48 m