题目

题型：徐州模拟难度：来源：

如图所示，质量为M=0.7kg的靶盒位于光滑水平导轨上．在O点时，恰能静止，每当它离开O点时便受到一个指向O点的大小恒为F=50N的力．P处有一固定的发射器，它可根据需要瞄准靶盒．每次发射出一颗水平速度v₀=50m/s，质量m=0.10kg的球形子弹（它在空中运动过程中不受任何力的作用）．当子弹打入靶盒后，便留在盒内不反弹也不穿出．开始时靶盒静止在O点．今约定，每当靶盒停在或到达O点时，都有一颗子弹进入靶盒内．
（1）当第三颗子弹进入靶盒后，靶盒离开O点的最大距离为多少？第三颗子弹从离开O点到又回到O点经历的时间为多少？
（2）若P点到O点的距离为S=0.20m，问至少应发射几颗子弹后停止射击，才能使靶盒来回运动而不会碰到发射器？

答案

（1）第一颗子弹进入靶盒过程，系统动量守恒，设射入后获得速度v₁，则有mv₀=（M+m）v₁
得：v1=

m

M+m

v0…①
由于恒力作用又回到O点的过程，F做功为零，所以靶盒回到O点时，速度大小仍为v₁，但方向相反．第二颗子弹射靶后，设速度为v₂，
则有：mv₀-（M+m）v₁=（M+2m）v₂=0…②
当第三颗子弹射入后，设靶盒的速度为v₃，则有mv₀=（M+3m）v₃
得：v3=

m

M+3m

v0…③
此后靶盒克服F向右运动，至速度减为零时，离开O点的距离最大，设为S₃，由动能定理有
FS3=

1

2

(M+3m)

v

23

…④
S3=

(M+3m) v 23

2F

…⑤
由③、⑤式代入数据得S₃=0.25m…⑥
与第一颗子弹射入后的过程类似，第三颗子弹返回O点时速度大小仍为v₃，但方向左．设这一过程中加速度为a，往返时间为t．
由牛顿第二定律    a=

F

M+3m

…⑦
由运动学公式，有-v₃=v₃-at…⑧
由③、⑦、⑧式代入数据得t=0.2s…⑨
（2）由以上计算可见，每当奇数颗子弹射入靶后，靶都会开始运动，而偶数颗子弹射入靶后靶盒都会停止运动，所以射入子弹数必须为奇数，才能使停止射击后，靶盒能往复运动，设为n颗，
则：mv₀=（M+nm）v_n…⑩
FS ＞

1

2

(M+nm)

v

2n

…（11）
由⑩、（11）代入数据得n＞5.5  取n=7（颗）
答：（1）当第三颗子弹进入靶盒后，靶盒离开O点的最大距离为0.25m，第三颗子弹从离开O点到又回到O点经历的时间为0.2s．
（2）若P点到O点的距离为S=0.20m，问至少应发射7颗子弹后停止射击，才能使靶盒来回运动而不会碰到发射器．