题目

题型：不详难度：来源：

半径为R的水平圆台，可绕通过圆心O的竖直光滑细轴CC′转动，如图所示，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有凹槽，质量为m_A的物体A放在一个槽内，物体A与槽底间的动摩擦因数为μ，质量为m_B的物体B放在另一个槽内，此槽是光滑的．AB间用一长为l（l＜R）且不可伸长的轻绳绕过细轴相连．已知圆台做匀速转动，且A、B两物体相对圆台不动（A、B两物体可视为质点，物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）．
（1）当圆台转动的角速度为ω₀，OA的长度为l₁时，试写出A、B两个物体受到的向心力大小的表达式．
（2）不论圆台转动的角速度为多大，要使物体A和槽之间恰好没有摩擦力，则OA的长为多大？
（3）设OA长为x，试分析圆台的角速度ω和物体A到圆心的距离x所应满足的条件．

答案

（1）由向心力公式可得：
A向心力大小的表达式：F_A=m_Aω₀²l₁      
B的向心力：F_B=m_Bω₀²（l-l₁）   
（2）设OA长为l₁，则OB为l-l₁；
F=m_Aω²l₁       
F=m_Bω²（l-l₁）   
解得 l1=

mB

mA+mB

l．
（3）当A、B两物体相对转台静止且恰无摩擦时，物体A、B的动力学方程分别为
F=m_Aω²x，F=m_Bω²（l-x），联立解得x=

mB

mA+mB

l
当A、B两物体相对转台静止且A恰没有做远离轴心的运动时，物体A、B的动力学方程分别为
F+μm_Ag=m_Aω²x，F=m_Bω²（l-x）
ω=

μmAg (mA+mB)x-mBl

，x＞

mB

mA+mB

l
当A、B两物体相对转台静止且A恰没有做向轴心的运动时，物体A、B的动力学方程分别为
F-μm_Ag=m_Aω²x，F=m_Bω²（l-x）
ω=

μmAg mBl-(mA+mB)x

，x＜

mB

mA+mB

l
综上分析可知

当l≥x＞ mB mA+mB l时，ω≤ μmAg (mA+mB)x-mBl ； 当x= mB mA+mB l时，ω可以任意取值； 当0≤x＜ mB mA+mB l时，ω≤ μmAg mBl-(mA+mB)x