题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，质量为m、长为L的均匀细杆OA，一端通过光滑铰链固定在地面O处，在细杆中点B处系一根细绳，细绳绕过两个光滑定滑轮后悬挂着物体D，物体D的质量为细杆质量的1/3，D离滑轮距离足够远．在外力F的作用下使细杆与地面保持夹角θ为60°，此时细绳CB与杆的夹角也为60°（如图所示）．已知细杆绕O点转动的动能表达式为Ek=

1

6

mL2ω2，m表示杆的质量，L表示杆的长度，ω表示杆转动的角速度．求：
（1）外力F的最小值．
（2）撤去外力F后，细杆从图示位置到绕O点罢到地面前的过程中，系统（指细杆和物体D）重力势能的变化量．
（3）撤去外力F后，细杆绕O点转到地面的瞬间，物体D的速度大小．

答案

（1）要使F最小，F必须作用于A点，且方向垂直于杆斜向上．如图．
根据力矩平衡条件得：FL+T

L

2

sin60°=mgcos60°
又T=

1

3

mg
代入解得 F=

3- 3

12

mg=0.11mg
（2）撤去外力F后，细杆从图示位置到绕O点罢到地面前的过程中，物体D的重力势能增大，杆的重力势能减小，
由图可知，细杆重心下降了

3

4

L，物体D上升了

L

2

则△E_P=

1

3

mg•

L

2

-mg

3

4

L=

2-3 3

12

mgL=-0.27mgL
即系统的重力势能减小了0.27mgL．
（3）设细杆着时角速度为ω，B点着地时速度为v_B，物体D的速度为v_D，则
v_B=ω•

L

2

v_D=v_Bsinθ
根据系统机械能守恒得

1

6

mL2ω2+

1

2

×

1

3

m

v

2D

=-△E_P
代入解得v_D=0.5

gL

答：（1）外力F的最小值为0.11mg．
（2）撤去外力F后，细杆从图示位置到绕O点罢到地面前的过程中，系统重力势能的变化量为-0.27mgL．
（3）撤去外力F后，细杆绕O点转到地面的瞬间，物体D的速度大小为v_D=0.5

gL

．