题目
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【题文】已知函数f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求函数f(x)的值域.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求函数f(x)的值域.
答案
【答案】(1)(-1,1)(2)f(x)是偶函数(3)(-∞,0]
解析
【解析】(1)由得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)由f(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)+(-x)4-2(-x)2=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(3)f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2=lg(1-x2)+x4-2x2,
设t=1-x2,由x∈(-1,1),得t∈(0,1].
所以y=lg(1-x2)+x4-2x2=lgt+(t2-1),t∈(0,1],
设0<t1<t2≤1,则lgt1<lgt2,<,
所以lgt1+(-1)<lgt2+(-1),
所以函数y=lgt+(t2-1)在t∈(0,1]上为增函数,
所以函数f(x)的值域为(-∞,0].
(2)由f(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)+(-x)4-2(-x)2=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(3)f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2=lg(1-x2)+x4-2x2,
设t=1-x2,由x∈(-1,1),得t∈(0,1].
所以y=lg(1-x2)+x4-2x2=lgt+(t2-1),t∈(0,1],
设0<t1<t2≤1,则lgt1<lgt2,<,
所以lgt1+(-1)<lgt2+(-1),
所以函数y=lgt+(t2-1)在t∈(0,1]上为增函数,
所以函数f(x)的值域为(-∞,0].
核心考点
试题【【题文】已知函数f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求函数f(x)的值域】;主要考察你对对数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】函数的定义域是( )
A. | B. | C. | D. |
【题文】若函数f(x)=则f(f(0))=________.
【题文】已知函数,则满足不等式的实数的取值范围为 .
【题文】设函数则=___________.
【题文】已知函数,若实数是方程的解,且,则 的值( )
A.等于零 | B.恒为负 | C.恒为正 | D.不大于零 |
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