题目

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【题文】（本小题满分10分）已知函数是偶函数．
（1）求实数的值;
（2）设,若有且只有一个实数解,求实数的取值范围．

答案

【答案】（1）. （2）的取值范围是{}∪[1,＋∞）．

解析

【解析】
试题分析：（1）通过偶函数的定义，知，化简得,进而求出 。（2）通过分析得出题意可化为方程有且只有一个实根, 令,则有且只有一个正根，再通过，分三种情况、、讨论求的取值范围。
试题解析：（1）由函数是偶函数可知:, 
∴ ,  
化简得,       
即对一切恒成立,∴.  
（2）函数与的图象有且只有一个公共点,
即方程有且只有一个实根,
化简得:方程有且只有一个实根,
且成立, 则
令,则有且只有一个正根
设,注意到,
所以①当时, 有, 合题意;     
②当时,图象开口向下,且,则需满足
,此时有;（舍去）
③当时,又,方程恒有一个正根与一个负根.
综上可知,的取值范围是{}∪[1,＋∞）．
考点：对数函数的奇偶性和分类整合思想