题目
题型:难度:来源:
【题文】(本小题满分14分)已知函数
,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若对任意
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)试探究当
时,方程
解的个数,并说明理由.
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(Ⅰ)求曲线
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(Ⅱ)若对任意
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(Ⅲ)试探究当
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答案
【答案】(Ⅰ)
; (Ⅱ)
;(Ⅲ)
时,方程
有两个解.
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解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)依题意得,根据导数的几何意义即可求出斜率,再利用点斜式,即可求出曲线
在点
处的切线方程;(Ⅱ)等价于对任意
,
,利用导数在函数单调性中的应用,以及利用导数求最值即可求出结果;(Ⅲ)设
,
,对
进行分类讨论,即可求出结果.
试题解析:解:(Ⅰ)依题意得,
, 1分
. 2分
所以曲线
在点
处的切线方程为
. 3分
(Ⅱ)等价于对任意
,
. 4分
设
,
.
则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112857-69646.png)
因为
,所以
, 5分
所以
,故
在
单调递增, 6分
因此当
时,函数
取得最小值
; 7分
所以
,即实数
的取值范围是
.8分
(Ⅲ)设
,
.
①当
时,由(Ⅱ)知,函数
在
单调递增,
故函数
在
至多只有一个零点,
又
,而且函数
在
上是连续不断的,
因此,函数
在
上有且只有一个零点. 10分
②当
时,
恒成立.证明如下:
设
,则
,所以
在
上单调递增,
所以
时,
,所以
,
又
时,
,所以
,即
.
故函数
在
上没有零点. 12分
③当
时,
,所以函数
在
上单调递减,故函数
在
至多只有一个零点,
又
,而且函数
在
上是连续不断的,
因此,函数
在
上有且只有一个零点.
综上所述,
时,方程
有两个解. 14分
考点:1.函数的导数的应用;2.不等式的恒成立.
试题分析:(Ⅰ)依题意得,根据导数的几何意义即可求出斜率,再利用点斜式,即可求出曲线
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112851-14016.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112852-81041.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112854-30501.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112854-15209.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112855-71879.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112855-50700.png)
试题解析:解:(Ⅰ)依题意得,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112856-80687.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112856-12639.png)
所以曲线
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112851-38596.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112851-14016.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112853-67907.png)
(Ⅱ)等价于对任意
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112854-30501.png)
设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112856-97182.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112852-81041.png)
则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112857-69646.png)
因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112852-81041.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112857-71257.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112857-18968.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112857-81606.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112858-46262.png)
因此当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112858-68756.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112857-81606.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112858-77913.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-39043.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112852-42783.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112854-37420.png)
(Ⅲ)设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112854-15209.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112855-71879.png)
①当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112852-81041.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-23241.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112858-46262.png)
故函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-23241.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112858-46262.png)
又
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-62137.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-23241.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112858-46262.png)
因此,函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-23241.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112858-46262.png)
②当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112900-72730.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112900-75105.png)
设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112900-95338.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112901-60604.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112901-18498.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112902-33934.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112900-72730.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112902-64620.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112902-89539.png)
又
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112900-72730.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112903-70682.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112904-97404.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112900-75105.png)
故函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-23241.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112904-99131.png)
③当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112905-77032.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112905-65311.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-23241.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112906-36551.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-23241.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112906-36551.png)
又
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112906-97533.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-23241.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112906-70521.png)
因此,函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112859-23241.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112906-36551.png)
综上所述,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112853-19592.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327112853-16349.png)
考点:1.函数的导数的应用;2.不等式的恒成立.
核心考点
试题【【题文】(本小题满分14分)已知函数,其中为自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)试探究当时,方程】;主要考察你对函数与方程等知识点的理解。[详细]
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