题目
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【题文】设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围图形的面积.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围图形的面积.
答案
【答案】(1)π-4. (2)4
解析
【解析】解:(1)由f(x+2)=-f(x),得
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,从而得
f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327034951-78282.png)
当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,
则S=4S△OAB=4×(
×2×1)=4.
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,从而得
f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
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当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,
则S=4S△OAB=4×(
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核心考点
试题【【题文】设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的】;主要考察你对函数的对称性等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】已知周期函数f(x)的定义域为R,周期为2,且当-1<x≤1时,f(x)=1-x2.若直线y=-x+a与曲线y=f(x)恰有2个交点,则实数a的所有可能取值构成的集合为( )
A.{a|a=2k+![]() ![]() |
B.{a|a=2k-![]() ![]() |
C.{a|a=2k+1或2k+![]() |
D.{a|a=2k+1,k∈Z} |
【题文】已知定义域为R的函数f(x)为奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.
(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式;
(2)求f(
24)的值.
(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式;
(2)求f(
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200327/20200327034859-37379.png)
【题文】奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,则f(1)=1,则f(8)+f(9)= ( )
A.-2 | B.-1 | C.0 | D.1 |
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