题目
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【题文】(本小题满分12分)已知函数定义域为
,若对于任意的
,都有
,且时,有.
(Ⅰ)证明函数是奇函数;
(Ⅱ)讨论函数在区间
上的单调性;
(Ⅲ)设,若
,对所有
,
恒成立,求实数
的取值范围.
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(Ⅰ)证明函数是奇函数;
(Ⅱ)讨论函数在区间
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(Ⅲ)设,若
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答案
【答案】(Ⅰ)奇函数;(Ⅱ)单调递增函数;(Ⅲ)
或
.
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解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)对于抽象函数的研究,往往用赋值法,即给变量赋予特殊值或特殊关系,奇偶性的判断需从定义出发;(Ⅱ)单调性的研究也必须从定义出发;(Ⅲ)利用已经得到的单调性,去掉函数法则符号,转化为具体的不等式,然后再利用变更主元的思想方法求参数的范围.
试题解析:(Ⅰ)因为有,
令,得
,所以, 1分
令可得:
所以,所以为奇函数. 3分
(Ⅱ)
是定义在
上的奇函数,由题意设
,则
由题意
时,有
,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124550-19740.png)
是在
上为单调递增函数; 7分
(Ⅲ)因为在
上为单调递增函数,
所以在
上的最大值为
, 8分
所以要使<,对所有
恒成立,
只要
,即
, 9分
令![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124553-89690.png)
由
得
,
或
. 12分
考点:抽象函数及其性质的综合应用.
试题分析:(Ⅰ)对于抽象函数的研究,往往用赋值法,即给变量赋予特殊值或特殊关系,奇偶性的判断需从定义出发;(Ⅱ)单调性的研究也必须从定义出发;(Ⅲ)利用已经得到的单调性,去掉函数法则符号,转化为具体的不等式,然后再利用变更主元的思想方法求参数的范围.
试题解析:(Ⅰ)因为有,
令,得
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令可得:
所以,所以为奇函数. 3分
(Ⅱ)
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由题意
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124550-19740.png)
是在
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(Ⅲ)因为在
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所以在
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所以要使<,对所有
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只要
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令
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124553-89690.png)
由
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124553-78451.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124553-59464.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124549-53255.png)
考点:抽象函数及其性质的综合应用.
核心考点
试题【【题文】(本小题满分12分)已知函数定义域为,若对于任意的,都有,且时,有.(Ⅰ)证明函数是奇函数;(Ⅱ)讨论函数在区间上的单调性;(Ⅲ)设,若,对所有,恒成立】;主要考察你对函数的奇偶性等知识点的理解。[详细]
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