题目
题型:难度:来源:
【题文】讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.
答案
【答案】f(x)分别在(-∞,-]、[,+∞)上为增函数;f(x)分别在[-,0)、(0,]上为减函数
解析
【解析】 方法一 显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,设x1>x2>0,则
f(x1)-f(x2) =(x1+)-(x2+)=(x1-x2)·(1-).
∴当0<x2<x1≤时,>1,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,]上是减函数.
当x1>x2≥时,0<<1,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在[,+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数,
∴f(x)分别在(-∞,-]、[,+∞)上为增函数;f(x)分别在[-,0)、(0,]上为减函数.
方法二 由f ′(x)=1-=0可得x=±
当x>时或x<-时,f ′(x)>0,∴f(x)分别在(,+∞)、(-∞,-]上是增函数.
同理0<x<或-<x<0时,f′(x)<0
即f(x)分别在(0,]、[-,0)上是减函数.
f(x1)-f(x2) =(x1+)-(x2+)=(x1-x2)·(1-).
∴当0<x2<x1≤时,>1,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,]上是减函数.
当x1>x2≥时,0<<1,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在[,+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数,
∴f(x)分别在(-∞,-]、[,+∞)上为增函数;f(x)分别在[-,0)、(0,]上为减函数.
方法二 由f ′(x)=1-=0可得x=±
当x>时或x<-时,f ′(x)>0,∴f(x)分别在(,+∞)、(-∞,-]上是增函数.
同理0<x<或-<x<0时,f′(x)<0
即f(x)分别在(0,]、[-,0)上是减函数.
核心考点
举一反三
【题文】若,则;
【题文】函数的递减区间是高@考@资@源@网
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