题目
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
对任意
,都有
,
且当
时,都有
.
(1)求
(2)求证:
在
上单调递减.
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(1)求
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(2)求证:
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答案
【答案】(1)-10100; (2)见解析.
解析
【解析】
试题分析:(1)根据条件可令
即可得:
,再次结合
,
,可以求出
经观察可得:这些数恰好构成一个等差数列,按照等差数列的公式求和即可;
(2)结合(1)以及奇偶性的定义可得:
,即可得到结论;由以上两问可得:
所以利用单调性的定义证明函数在
上单调递减即可;
试题解析:(1)因为函数
对任意
有
,所以令
可得:
,
又因为
,所以
,
,
,所以由此可得
构成以0为首项,以-2为公差的等差数列,所以
;
(2)函数的定义域为
,所以令
则
,所以
为奇函数;
任取
,且
,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212553-62628.png)
因为
,所以
,又因为当
时,恒有
,所以
,
所以
,所以函数在
上单调递减.
考点:函数性质的综合应用.
试题分析:(1)根据条件可令
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212547-33925.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212547-70115.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212544-87194.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212545-82909.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212547-33750.png)
(2)结合(1)以及奇偶性的定义可得:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212548-92889.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212548-83671.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212546-93377.png)
试题解析:(1)因为函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212549-83573.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212549-18111.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212547-33925.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212547-70115.png)
又因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212545-82909.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212550-77640.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212550-77115.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212551-85791.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212547-33750.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212552-13831.png)
(2)函数的定义域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212546-93377.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212552-50786.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212548-92889.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212543-32234.png)
任取
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212552-69266.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212553-25645.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212553-62628.png)
因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212553-25645.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212554-81012.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212554-27255.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212554-18301.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212555-43985.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212555-30663.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212546-93377.png)
考点:函数性质的综合应用.
核心考点
举一反三
【题文】定义在R上的函数
为奇函数,对于下列命题:
①函数
满足
; ②函数
图象关于点(1,0)对称;
③函数
的图象关于直线
对称; ④函数
的最大值为
;
⑤
.其中正确的序号为________.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212439-25568.png)
①函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212439-43169.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212440-97516.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212439-43169.png)
③函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212440-45583.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212441-94364.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212440-45583.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212441-18811.png)
⑤
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325212442-97985.png)
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