题目

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【题文】已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)当n∈N^*时，求f(n)的表达式；
（2）当a_n=n·f(n), n∈N^*,求证a₁+a₂+…+a_n＜2；
（3）设bn=.

答案

【答案】（1）f(n)｝为首页f(n)=
（2）略
（3）=

解析

【解析】(1)解：令x=n,y=1得，f(n+1)=f(n)·f(1),
∴｛f(n)｝为首页f(n)=.
(2)证明a_n=n·f(n),= n·()ⁿ,由错位相减法证得a₁₊a₂+a₃+…+a_n=2-；
(3)解：∵,
∴.
故.
∴
=
=