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题目
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设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实根x1,x2
(1)求(1+x1)(1+x2)的值;
(2)求证:x1<-1且x2<-1;(3)若
x1
x2
∈[
1
10
,10]
,试求a的最大值.
答案
(1)∵关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实根x1,x2
由韦达定理可得x1+2=-
1
a
,x1•x2=
1
a

(1+x1)(1+x2)=1+x1+x2+x1•x2=1-
1
a
+
1
a
=1
(2)由方程的△≥0,可推得二次函数f(x)=ax2+x+1图象的对称轴
x=-
1
2a
<-1
,又由于f(-1)=a>0,
所以f(x)的图象与x轴的交点均位于(-1,0)的左侧,故得证;
(3)结合(1)的结论可得,-
1
x2
∈[
1
11
10
11
]

a=
1
x1x2
=-[(-
1
x2
)-
1
2
]2
+
1
4

所以a的最大值为
1
4
核心考点
试题【设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实根x1,x2,(1)求(1+x1)(1+x2)的值;(2)求证:x1<-1且x2<-1;(3)若x1x】;主要考察你对不等式的实际应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
一元二次方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大,另一根比1小,则实数a的取值范围是______.
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已知m,n是方程lg2x+lg15lgx+lg3lg5=0的两根,则mn=(  )
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A.-(lg3+lg5)B.lg3lg5C.D.
若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在区间(-2,0)上,另一个根在区间(1,3)上,则实数a的取值范围______.
方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是______.
若关于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的两实根α,β满足0<α<1<β<2,则实数t的取值范围是______.