题目

题型：不详难度：来源：

用数学归纳法证明不等式：

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n2

＞1（n∈N^*且n．1）．

答案

证明：（1）当n=2时，左边=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

＞1，∴n=2时成立（2分）
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

k2

＞1
那么当n=k+1时，左边=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

(k+1)2

=

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

k2+2k

+

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+

1

k2+1

+

1

k2+2

+…+

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+(2k+1)•

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+

k2-k-1

k2+2k+1

＞1
∴n=k+1时也成立（7分）
根据（1）（2）可得不等式对所有的n＞1都成立（8分）