题目

题型：宁夏自治区期末题难度：来源：

（选做题）证明：
（1）已知x，y都是正实数，求证：x³+y³≥x²y+xy²，
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：．

答案

证明：（1）∵（x³+y³ ）﹣（x²y+xy²）=x² （x﹣y）+y²（y﹣x）=（x﹣y）（x²﹣y² ） 
         =（x+y）（x﹣y）²．
∵x，y都是正实数，∴（x﹣y）²≥0，（x+y）＞0，
∴（x+y）（x﹣y）²≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²．
（2）∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1，
∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥，当且仅当a=b=c 时，等号成立．