题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=cos2x+

3

sinxcosx+2sinxcos(x+

π

6

)，其中x∈[0，

π

2

]
（1）求函数f（x）的值域
（2）若|f（x）-k|＜3对任意x∈[0，

π

2

]恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（1）f(x)=cos2x+

3

sinxcosx+2sinxcos(x+

π

6

)
=cosx(cosx+

3

sinx)+2sinxcos(x+

π

6

)
=2cosxsin(x+

π

6

)+2sinxcos(x+

π

6

)
=2sin(2x+

π

6

)
x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴函数f（x）的值域是[-1，2]
（2）由|f（x）-k|＜3得k-3＜f（x）＜k+3对任意x∈[0，

π

2

]恒成立
∴

2＜k+3 k-3＜-1

从而-1＜k＜2