题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知函数f(x)=（x∈R），Ｐ1（ｘ1，ｙ1），Ｐ2（ｘ2，ｙ2）是函数ｙ＝ｆ(x)图像上两点，且线段Ｐ1Ｐ2中点Ｐ的横坐标为。
（１）求证Ｐ的纵坐标为定值；   （4分）
（２）若数列｛｝的通项公式为＝ｆ()(ｍ∈Ｎ，ｎ＝１,２,３,…,ｍ），求数列｛｝的前ｍ项和；    （5分）
（３）若ｍ∈Ｎ时，不等式＜横成立，求实数a的取值范围。（3分）

答案

（1）略
（2）（３ｍ－１）
（3）

解析

解答：（１）由＝，知ｘ＋ｘ＝１，
则ｙ＋ｙ＝＋＝…＝          故＝。-------4分
（２）已知Ｓ＝ｆ()+ｆ()+ｆ()+…+ｆ()+ｆ()
易证ｆ()+ｆ()＝，ｆ（１）＝           ----------------6分
前ｍ－１项逆序相加２Ｓ＝［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()＋ｆ()］+…+［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()＋ｆ()］
＝（３ｍ－１）                        ------------9分
（３）＜ａ（－）＜０依题意知对任意ｍ∈Ｎ恒成立，显然ａ≠０，
（Ⅰ）当ａ＜０时，显然－＞０，则ａ＜０，
当ｍ取偶数时，显然不成立，故此时不合题意                  ---------10分
（Ⅱ）当ａ＞０时，ａ＞０，则需－＜０，解得ａ＞＝１＋，ｍ∈Ｎ时，单调递减，故１＋≤，故此时ａ＞．
综上所述：ａ＞。                       -----------12 分