题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
设函数f (x)＝，其中a∈R．
（1）若a＝1，f (x)的定义域为［0，3］，求f (x)的最大值和最小值．
（2）若函数f (x)的定义域为区间（0，＋∞），求a的取值范围使f (x)在定义域内是单调减函数．

答案

（1）f (x)_max=，f (x)_min＝－1；（2）a＜－1。

解析

试题分析：f (x)＝＝＝a－，
设x₁，x₂∈R，则f (x₁)－f (x₂)＝＝．        ……2分
（1）当a＝1时，设0≤x₁＜x₂≤3，则f (x₁)－f (x₂)＝．
又x₁－x₂＜0，x₁＋1＞0，x₂＋1＞0，所以f (x₁)－f (x₂)＜0，
∴f (x₁)＜f (x₂)，                                   ……4分
所以f (x)在［0，3］上是增函数，所以f (x)_max＝f (3)＝1－＝；
f (x)_min＝f (0)＝1－＝－1．                        ……7分
（2）设x₁＞x₂＞0，则x₁－x₂＞0，x₁＋1＞0，x₂＋1＞0
要f (x)在（0，＋∞）上是减函数，只要f (x₁)－f (x₂)＜0
而f (x₁)－f (x₂)＝，所以当a＋1＜0即a＜－1时，有f (x₁)－f (x₂)＜0，所以f (x₁)＜f (x₂)，
所以当a＜－1时，f (x)在定义域（0，＋∞）上是单调减函数．       ……12分
点评：对于形如的函数，我们常采取分离常数法化为的形式。而的图像可以有反比例函数的图像经过平移伸缩变换得到。