当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数的相关概念 > 若存在实常数和,使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足:和,则称直线为和的“隔离直线”.已知,为自然对数的底数).(1)求的极值;(2)函数和是否存在隔离直线...
题目
题型:不详难度:来源:
若存在实常数,使得函数对其定义域上的任意实数分别满足:,则称直线的“隔离直线”.已知为自然对数的底数).
(1)求的极值;
(2)函数是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)当时,取极小值,其极小值为(2)函数存在唯一的隔离直线
解析

试题分析:(1)
.        
时,.                     
时,,此时函数递减; 
时,,此时函数递增;
∴当时,取极小值,其极小值为.   …………………………………6分   
(2)解法一:由(1)可知函数的图象在处有公共点,因此若存在的隔离直线,则该直线过这个公共点.          
设隔离直线的斜率为,则直线方程为,即.                                
,可得时恒成立.
,                             
,得.                       
下面证明时恒成立.
,则
,                
时,
时,,此时函数递增;
时,,此时函数递减;
∴当时,取极大值,其极大值为.   
从而,即恒成立.            
∴函数存在唯一的隔离直线.……………12分 
解法二: 由(1)可知当时, (当且仅当时取等号) .
若存在的隔离直线,则存在实常数,使得
恒成立,
,则
,即.                    
后面解题步骤同解法一.
点评:求函数极值要首先确定定义域,通过导数等于零找到极值点,但要说明是极大值还是极小值,第二问中将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,这种转化思路是函数综合题中常用的思路,其中找到函数的图象在处有公共点是求解的关键
核心考点
试题【若存在实常数和,使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足:和,则称直线为和的“隔离直线”.已知,为自然对数的底数).(1)求的极值;(2)函数和是否存在隔离直线】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数f(x)=的最大值为M,最小值为N,那么M+N= _________ 
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数).
(1)若函数处取得极大值,求的值;
(2)时,函数图象上的点都在所表示的区域内,求的取值范围;
(3)证明:.
题型:不详难度:| 查看答案
,…, .若,则的值为      .
题型:不详难度:| 查看答案
若函数在给定区间M上存在正数t,使得对于任意,有,且,则称为M上的t级类增函数。给出4个命题
①函数上的3级类增函数
②函数上的1级类增函数
③若函数上的级类增函数,则实数a的最小值为2
④设是定义在上的函数,且满足:1.对任意,恒有;2.对任意,恒有;3. 对任意,若函数上的t级类增函数,则实数t的取值范围为
以上命题中为真命题的是     
题型:不详难度:| 查看答案
某商店将进货价10元的商品按每个18元出售时,每天可卖出60个.商店经理到市场做了一番调研后发现,如将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元,则日销售量就减少5个;如将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元,则日销售量就增加10个.为获得每日最大的利润,此商品售价应定为每个多少元?
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.