题目
题型:不详难度:来源:
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(1)当a=2时,求函数f(x)的零点;
(2)当a>0时,求证:函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点;
(3)若函数f(x)有四个不同的零点,求a的取值范围.
答案
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解析
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当x<0时,由f(x)=0,得
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即x(2x2+4x+1)=0(x≠-2),解得x=
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综上所述,函数f(x)的零点为0,x=
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(2)证明:当a>0且x>0时,由f(x)=0,得
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记g(x)=ax2+2ax-1,则函数g(x)的图象是开口向上的抛物线.
又g(0)=-1<0,所以函数g(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点,
即函数f(x)在区间(0,+∞)内有且仅有一个零点.
(3)解:易知0是函数f(x)的零点.
对于x>0,由(2)知,当a>0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内有且仅有一个零点;
当a≤0时,g(x)=ax2+2ax-1<0恒成立,因此函数f(x)在区间(0,+∞)内无零点.
于是,要使函数f(x)有四个不同的零点,函数f(x)在区间(-∞,0)内就要有两个不同的零点.
当x<0时,由f(x)=0,得
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因为a=0不符合题意,所以①式可化为x2+2x+
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作出函数h(x)=x2+2x(x<0)的图象便知-1<-
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综上所述,a的取值范围是(1,+∞).
核心考点
试题【设函数f(x)=-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求函数f(x)的零点;(2)当a>0时,求证:函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点;(3)若函】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当a=1,b=-2时,求f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
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