题目

题型：不详难度：来源：

某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过10个环节，把由数字0，1构成的数字信号由发生端传到接受端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3，把0错转为1的概率为0.2，若发出的数字信号中共有10000个1，5000个0．问：
（1）从第1个环节转出的信号中0，1各有多少个？
（2）最终接受端收到的信号中0，1个数各是多少？（精确到十位）
（3）该同学为了完善自己的仪器，决定在接受端前加一个修正器，把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接受到的0和1的个数与发出的信号同．

答案

（1）从第1个环节转出的信号中，0的个数为：
10000×0.3+5000×0.8=7000（个）
1的个数为：10000×0.7+5000×0.2=8000（个）
（2）数字错转的转移矩阵为A=

0.7 0.2 0.3 0.8

，1和0的个数对应列矩阵

10000 5000

，
于是最终接受端收到的信号中1，0个数对应矩阵A¹⁰

10000 5000

，
矩阵A的特征多项式为：f(λ)=

.

λ-0.7 -0.2 -0.3 λ-0.8

.

=λ²-1.5λ+0.5=（λ-1）（λ-0.5）
令f（λ）=0，得到A的特征值为1或0.5，将1代入方程组

(λ-0.7)x-0.2y=0 -0.3x+(λ-0.8)y=0

解得3x-2y=0，不妨设x=2，于是得到矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为

2 3

．
同理，把λ=0.5代入上述方程组得x+y=0，不妨设x=1，可得矩阵A的属于特征值0.5的一个特征向量为

1 -1

．
又设

10000 5000

=m

2 3

+n

1 -1

，于是

10000=2m+n 5000=3m-n

，求得

m=3000 n=4000

，
所以A¹⁰

10000 5000

=3000•1¹⁰

2 3

+4000•0.5¹⁰

1 -1

=

6000+4000•0.510 9000-4000•0.510

≈

6000 9000

于是，最终接受端收到的信号中0约有9000个，1约有6000个
（3）设修正器的转移矩阵为B=

1-s t s 1-t

（0＜s＜1，0＜t＜1），则由题意有

1-s t s 1-t

•

6000 9000

=

10000 5000

于是得到6s-9t+4=0∵0＜s＜1，0＜t＜1
∴可取s=

1

2

，t=

7

9

也就是说1转为0的概率为

1

2

，0转为1的概率为

7

9

．
注：第（3）问答案不惟一，只要满足方程6s-9t+4=0（0＜s＜1，0＜t＜1）的s，t均可．