对任意正整数n，定义n的双阶乘n！！如下：当n为偶数时，n!=n（n-2）（n-4）…6×4×2；当n为奇数时，n（n-2）（n-4）…5×3×1；现有四个命题 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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对任意正整数n，定义n的双阶乘n！！如下：当n为偶数时，n!=n（n-2）（n-4）…6×4×2；当n为奇数时，n（n-2）（n-4）…5×3×1；
现有四个命题：①（2009!!）（2008!!）=2009!，②2008!!=2×1004!，③2008！！个位数为0，④2009！！个位数为5．其中正确的序号为______．

答案

①：（2009!!）（2008!!）=（2009×2007×2005×…×3×1）（2008×2006×…×4×2）=2009×2008×2007×…×2×1=2009!，故①正确；
②2008!!=2008×2006×2004×…×4×2=2¹⁰⁰⁴×（1•2•3•4…1004）=2¹⁰⁰⁴×1004!
∴2008!!≠2×1004!，
故②错误；
③∵2008！！=2008×2006×…10×8×4×2，有一个因式为10，则2008！！个位数为0，故选③；
④∵2009！！=2009×2007×2005×…×3×1=5×（2009×2007×2005×…×7×3×1），可知2009！！个位数为5，故④正确；
故答案为①③④．

核心考点

试题【对任意正整数n，定义n的双阶乘n！！如下：当n为偶数时，n!=n（n-2）（n-4）…6×4×2；当n为奇数时，n（n-2）（n-4）…5×3×1；现有四个命题】；主要考察你对合情推理与演译推理等知识点的理解。[详细]

举一反三

若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的任意n个值x₁，x₂，…，x_n总满足，

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

≤f(

x1+x2+x3+…+xn

)则称f（x）为D上的凸函数，现已知f（x）=cosx在（0，

）上是凸函数，则在锐角△ABC中，cosA+cosB+cosC的最大值是 ______．

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一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是（　　）

A．1025

B．1035

C．1045

D．1055

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集合{1，2，3，…，n}（n≥3）中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为f（n），如：

f(3)=1×2+1×3+2×3=

[62-(12+22+32)]=11，

f(4)=1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4

[102-(12+22+32+42)]=35

f(5)=1×2+1×3+1×4+1×5+…4×5

[152-(12+22+32+42+52)]=85.

则f（7）=______．（写出计算结果）

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我们常用定义解决与圆锥曲线有关的问题．如“设椭圆

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过左焦点F₁作倾斜角为θ的弦AB，设|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，试证

为定值”．
证明如下：不妨设A在x轴的上方，在△ABC中，由椭圆的定义及余弦定理得，（2a-r₁）²=r₁²+4c²-4cr₁cosθ，∴r1=

a-ccosθ

，
同理r2=

a-ccos(π-θ)

a+ccosθ

，于是

．请用类似的方法探索：设双曲线

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过左焦点F₁作倾斜角为θ的直线与双曲线右支交于点A，左支交于点B，设|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，是否有类似的结论成立，请写出与定值有关的结论是______．．

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定义一种运算“&”：“规定1&1=2，同时规定：若m&n=k，则m&（n+1）=k+2”，试计算：1&2005=______．

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