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题目
题型:不详难度:来源:
已知三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A1A,∠BAA1=60°
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,且AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的余弦值.
答案
证明:(1)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,
因为CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60°,
所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,
又因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,
又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C;
(2)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,
所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.
以O为坐标原点,


OA
的方向为x轴的正向,|


OA
|为单位长,建立如图所示的坐标系,
可得A(1,0,0),A1(0,


3
,0),C(0,0,


3
),B(-1,0,0),


BC
=(1,0,


3
),
.
BB1
=
.
AA1
=(-1,


3
,0),


A1C
=(0,-


3


3
),


n
=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,







n


BC
=0


n


BB1
=0
,即





x+


3
z=0
-x+


3
y=0

可取y=1,可得


n
=(


3
,1,-1),
故sin<


n


A1C
>=
|


n


A1C
|
|


n
|•|


A1C
|
=


10
5

∴cos<


n


A1C
>=


15
5
核心考点
试题【已知三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A1A,∠BAA1=60°(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,且AB=CB,求直】;主要考察你对向量求夹角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,则当△AEF的面积最大时,tanθ的值为(  )
A.2B.
1
2
C.


2
D.


2
2

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已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=
1
2
AB=1,N为AB上一点,AB=4AN,M、S分别为PB、BC的中点.
(Ⅰ)求证:CM⊥SN;
(Ⅱ)求二面角P-CB-A的余弦值;
(Ⅲ)求直线SN与平面CMN所成角的大小.
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四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,侧面PAD⊥底面ABCD,∠BCD=60°,PA=PD=


2
,E是BC中点,点Q在侧棱PC上.
(Ⅰ)求证:AD⊥PB;
(Ⅱ)若Q是PC中点,求二面角E-DQ-C的余弦值;
(Ⅲ)若
PQ
PC
,当PA平面DEQ时,求λ的值.
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如图,在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中,
(1)求直线B1D与平面A1BC1所成的角;
(2)求点A到面A1BC1的距离.
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如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°.
(1)设PD的中点为M,求证:AM平面PBC;
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值.
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