题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的余弦值的大小.
答案
解析
试题分析:(1)取的中点,连接、,证明平面,进而得到;(2)法一是利用四边形为平行四边形得到,于是得到点和点到平面的距离相等,证明平面,由于点为的中点,由中位线原理得到点到平面的距离为线段长度的一半,于是计算出点到平面的距离,根据直线与平面所成角的原理计算出直线与平面所成角的正弦值,进一步求出该角的余弦值;法二是分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值,再根据同角三角函数的平方关系求出这个角的余弦值.
试题解析:(1)如下图所示,取的中点,连接、、,
、分别为、的中点,则,
由于平面,平面,,
又,,,,所以,平面,
平面,,
,且点为的中点,所以,
,平面,
平面,;
(2)法一:由(1)知,故四边形为平行四边形,,
故点到平面的距离等于点到平面的距离,如下图所示,连接、,
取的中点,连接,
由于平面,且平面,,
,
同理,,
因为点为的中点,,
由于,故为等边三角形,
为的中点,,,
由于四边形为平行四边形,所以,,,
,点为的中点,,
因为,平面,
、分别为、的中点,,平面,
且,故点到平面的距离为,
设直线与平面所成的角为,则,
,故直线与平面所成角的余弦值为;
法二:分别以、、为、、轴建立如图空间直角坐标系,
则,,,,,,
设平面的法向量为,则,
设,则,,
设直线与平面所成角为,则,
所以直线与平面所成角的余弦值为;
核心考点
举一反三
①若,,则;
②若,,则;
③若,,则;
④若,,则.
其中真命题的是( )
A.①和② | B.②和③ | C.③和④ | D.②和④ |
(1)求证:;
(2)若,分别是,的中点,求二面角的余弦值.
(I)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的正切值;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
A.若,,则 | B.若,,,则 |
C.若,,,则 | D.若,,则 |
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