题目

题型：不详难度：来源：

已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.

(1)求证：BE∥平面PDA；
(2)若N为线段PB的中点，求证：NE⊥平面PDB.

答案

（1）见解析（2）见解析

解析

(1)∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，
∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA.
∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面BEC且EC∩BC＝C，
∴平面BEC∥平面PDA.
又∵BE⊂平面BEC，∴BE∥平面PDA.

(2)连接AC，交BD于点F，连接NF，
∵F为BD的中点，
∴NF∥PD且NF＝PD，
又EC∥PD且EC＝PD，
∴NF∥EC且NF＝EC.
∴四边形NFCE为平行四边形，
∴NE∥FC，
∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，
又DB⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，
∴NE⊥平面PDB.