题目

题型：不详难度：来源：

如图,在四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,SD=AD=AB,E是SA的中点.

(1)求证:平面BED⊥平面SAB.
(2)求直线SA与平面BED所成角的大小.

答案

(1)见解析   (2)

解析

(1)∵SD⊥平面ABCD,SD⊂平面SAD,
∴平面SAD⊥平面ABCD;
又∵AB⊥AD,∴AB⊥平面SAD,∴DE⊥AB,
∵SD=AD,E是SA的中点,∴DE⊥SA.
∵AB∩SA=A,∴DE⊥平面SAB.
又DE⊂平面BED,
∴平面BED⊥平面SAB.
(2)以D为原点,以DA,DC,DS分别为坐标轴建立空间直角坐标系Dzyz,不妨设AD=2,
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,,0),
C(0,,0),S(0,0,2),E(1,0,1).
=(2,,0),=(1,0,1),
设m=(x₁,y₁,z₁)是平面BED的一个法向量,
则 
即
因此可取m=(-1,,1).
又=(2,0,-2),
设直线SA与平面BED所成的角为θ,
则sinθ==⇒θ=,
即直线SA与平面BED所成的角为.