题目

题型：不详难度：来源：

对任意两个非零的平面向量

α

和

β

，定义

α

⊗

β

=

α • β

β • β

．若两个非零的平面向量

a

，

b

满足

a

与

b

的夹角θ∈(

π

4

，

π

2

)，且

a

⊗

b

和

b

⊗

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，则

a

⊗

b

=______．

答案

由新定义可得：

a

⊗

b

=

a • b

b • b

=

| a || b |cosθ

| b |2

=

| a |

| b |

cosθ，

b

⊗

a

=

b • a

a • a

=

| a || b |cosθ

| a |2

=

| b |

| a |

cosθ，
又因为

a

⊗

b

和

b

⊗

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，
设

a

⊗

b

=

n1

2

，

b

⊗

a

=

n2

2

，（n₁，n₂∈Z），
可得（

a

⊗

b

）•（

b

⊗

a

）=cos²θ=

n1n2

4

，
又θ∈（

π

4

，

π

2

），所以0＜n₁n₂＜2
所以n₁，n₂的值均为1，故

a

⊗

b

=

n1

2

=

1

2

故答案为：

1

2