题目

题型：贵阳二模难度：来源：

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=

6

3

，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l是圆O：x²+y²=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：

OA

•

OB

为定值．

答案

（Ⅰ）由题意可得

e= c a = 6 3 a2=b2+c2 1 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=4 b2= 4 3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

3y2

4

=1．
（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
则圆心O到直线l的距离d=

|m|

1+k2

，
∴1+k²=m²．
将直线l的方程和椭圆C的方程联立

y=kx+m x2 4 + 3y2 4 =1

，得到（1+3k²）x²+6kmx+3m²-4=0．
设直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
则x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-4

1+3k2

．
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)•

3m2-4

1+3k2

+km(-

6km

1+3k2

)+m2
=

4m2-4-4k2

1+3k2

=0，
②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得

OA

•

OB

=0．
综合上述可得，

OA

•

OB

为定值0．