当前位置:高中试题 > 数学试题 > 平面向量数量积的运算 > 已知点A,D分别是椭圆(a>b>0)的左顶点和上顶点,点P是线段AD上的任意一点,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且的最大值是1,最小值是,(Ⅰ)求椭圆C的...
题目
题型:湖南省模拟题难度:来源:
已知点A,D分别是椭圆(a>b>0)的左顶点和上顶点,点P是线段AD上的任意一点,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且的最大值是1,最小值是
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆的右顶点为B,点S是椭圆上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线L:x=分别交于M,N两点,求线段MN长度的最小值;
(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在T点,使得△TSB的面积是?若存在,确定点T个数;若不存在,说明理由。
答案

解:(Ⅰ)设 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),
(-c-x,-y),(c-x,-y),
=x2+y2-c2
∵P在线段AD上,
∴x2+y2可以看成线段AD上的点到原点距离的平方,
结合图形可以知道当P运动到A时x2+y2最大,最大值为a2
所以=x2+y2-c2的最大值为a2-c2=b2
当OP⊥AD时,x2+y2取得最小,最小值运用等面积法可得到x2+y2的最小值为
所以=x2+y2-c2的最小值为
的最大值是1,最小值是
故有,解得a2=4,
所以椭圆方程为
(Ⅱ)直线AS的斜率k显然存在,且k>0,
故可设直线的方程为y=k(x+2),
从而
得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,
设S(x1,y1),
,得,从而
又B(2,0),得,所以
又k>0,故|MN|=,当且仅当时等号成立,
时,线段的长度取最小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时
此时BS的方程为2x+y-4=0,

要使椭圆上存在点T,使得△TSB的面积等于,只需T到直线BS的距离等于
所以点T在平行于BS且与BS距离等于的直线l′上,
设直线l′的方程为2x+y+c=0,
则由,解得c=-3或c=-5,
当c=-3时,由得Δ=128>0,故直线l′与椭圆有两个不同的交点;
当c=-5时,由得Δ=-128<0,故直线l′与椭圆没有交点;
综上所述,当线段MN的长度最小时,在椭圆上仅有两个点T,使得△TSB的面积等于

核心考点
试题【已知点A,D分别是椭圆(a>b>0)的左顶点和上顶点,点P是线段AD上的任意一点,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且的最大值是1,最小值是,(Ⅰ)求椭圆C的】;主要考察你对平面向量数量积的运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数的部分图象如图所示,则


A.-6
B.-4
C.4
D.6
题型:专项题难度:| 查看答案
已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知,求λ12的值。
题型:专项题难度:| 查看答案
直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M,N,若c2=a2+b2,则(O为坐标原点)等于
A.-7
B.-14
C.7
D.14
题型:河南省模拟题难度:| 查看答案
已知向量a=(x,-3),b=(-1,2),若ab,则x=
A.
B.6
C.
D.-6
题型:山西省模拟题难度:| 查看答案
已知向量a=(-1,2),b=(m,-1),c=(3,-2),若(a-b)⊥c,则m的值是
A.
B.
C.3
D.-3
题型:山东省模拟题难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.