题目
题型:湖南省模拟题难度:来源:
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(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆的右顶点为B,点S是椭圆上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线L:x=
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(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在T点,使得△TSB的面积是
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答案
解:(Ⅰ)设 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),
则(-c-x,-y),
(c-x,-y),
∴=x2+y2-c2,
∵P在线段AD上,
∴x2+y2可以看成线段AD上的点到原点距离的平方,
结合图形可以知道当P运动到A时x2+y2最大,最大值为a2,
所以=x2+y2-c2的最大值为a2-c2=b2,
当OP⊥AD时,x2+y2取得最小,最小值运用等面积法可得到x2+y2的最小值为,
所以=x2+y2-c2的最小值为
,
又的最大值是1,最小值是
,
故有,解得a2=4,
所以椭圆方程为;
(Ⅱ)直线AS的斜率k显然存在,且k>0,
故可设直线的方程为y=k(x+2),
从而,
由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,
设S(x1,y1),
则,得
,从而
,
又B(2,0),得,所以
,
又k>0,故|MN|=,当且仅当
时等号成立,
∴时,线段的长度取最小值
;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时,
此时BS的方程为2x+y-4=0,,
∴,
要使椭圆上存在点T,使得△TSB的面积等于,只需T到直线BS的距离等于
,
所以点T在平行于BS且与BS距离等于的直线l′上,
设直线l′的方程为2x+y+c=0,
则由,解得c=-3或c=-5,
当c=-3时,由得Δ=128>0,故直线l′与椭圆有两个不同的交点;
当c=-5时,由得Δ=-128<0,故直线l′与椭圆没有交点;
综上所述,当线段MN的长度最小时,在椭圆上仅有两个点T,使得△TSB的面积等于。
核心考点
试题【已知点A,D分别是椭圆(a>b>0)的左顶点和上顶点,点P是线段AD上的任意一点,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且的最大值是1,最小值是,(Ⅰ)求椭圆C的】;主要考察你对平面向量数量积的运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知
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