题目

题型：不详难度：来源：

已知|

a

|=1，

a

•

b

=

1

2

，（

a

-

b

）•（

a

+

b

）=

1

2

，求：
（1）

a

与

b

的夹角；
（2）

a

-

b

与

a

+

b

的夹角的余弦值．

答案

（1）∵（

a

-

b

）•（

a

+

b

）=

1

2

，∴

a

2-

b

2=

1

2

．
又∵|

a

|=1，∴12-|

b

|2=

1

2

，解得|

b

|=

2

2

．
∵

a

•

b

=

1

2

，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

1 2

1× 2 2

=

2

2

，
∴

a

与

b

的夹角为

π

4

；
（2）由（1）可得|

a

-

b

|=

a 2+ b 2-2 a • b

=

12+( 2 2 )2-2× 1 2

=

2

2

，
|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

12+( 2 2 )2+2× 1 2

=

10

2

．
∴cos＜

a

-

b

，

a

+

b

＞=

( a - b )•( a + b )

| a - b || a + b |

=

1 2

2 2 × 10 2

=

5

5

．
∴

a

-

b

与

a

+

b

的夹角的余弦值为

5

5

．