题目

题型：不详难度：来源：

已知

a

=（cosx，sinx），

b

=（cosβ，sinβ）
（1）求证：（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）；
（2）若|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k＞0），将

a

与

b

数量积表示为关于k的函数f（k）；
（3）求f（k）的最小值及相应

a

，

b

夹角θ

答案

（1）证明：∵

a

=（cosx，sinx），

b

=（cosβ，sinβ）
∴（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=|

a

|2-|

b

|2=0．
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）；
（2）∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，∴(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2
∴

a

•

b

=

k2+1

4k

，故f（k）=

1

4

(k+

1

k

) (k＞0)；
（3）由f（k）=

1

4

(k+

1

k

) (k＞0)，
∴f(k)≥4×2

k• 1 k

=

1

2

，当k=

1

k

，即k=1时，取等号，此时，
cosθ=

a • b

| a || b |

=

1

2

，又∵0≤θ≤π，∴θ=

π

3

．