题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上，
(Ⅰ)求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
(Ⅱ)过点F的直线交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ₁+λ₂为定值；
(Ⅲ)直线l交椭圆C₂于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C₂上。

答案

解：（Ⅰ）由C₁：y²=2px（p＞0）的焦点在圆O：x²+y²=1上得：，∴p=2，
所以抛物线C₁：，
同理由椭圆C₂：的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，∴，
得椭圆C₂：；
总之，抛物线C₁：、椭圆C₂：。
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-1），，则N（0，-k），
联立方程组消去y得：，，
故，
由得，，
整理得，，
∴。
（Ⅲ）设，∴，则，
由得：，（1）
，（2）
，（3）
由（1）+（2）+（3）得：，
所以满足椭圆C₂的方程，命题得证。