题目

题型：河南模拟难度：来源：

定义在R上的函数y=f（x）满足f(

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+x)=f(

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-x)，(x-

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)f′(x)＞0，任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的（　　）

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件

答案

∵f(

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+x)=f(

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-x)，∴f（x）=f（5-x），即函数y=f（x）的图象关于直线x=

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对称．
又因(x-

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)f′(x)＞0，故函数y=f（x）在（

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，+∞）上是增函数．
再由对称性可得，函数y=f（x）在（-∞，

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）上是减函数．
∵任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），故x₁和x₂在区间（-∞，

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）上，∴x₁+x₂＜5．
反之，若 x₁+x₂＜5，则有x₂ -

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＜

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-x₁，故x₁离对称轴较远，x₂ 离对称轴较近，
由函数的图象的对称性和单调性，可得f（x₁）＞f（x₂）．
综上可得，“任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充要条件，
故选C．