题目
题型:不详难度:来源:
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(2)已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α,β,γ都是实数,证明α,β,γ是一个三角形的三边的充要条件是
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答案
因为已知a>0,b>0,c>0,
所以立即可得a+b+c>0,
ab+bc+ca>0,abc>0.
下面证明条件的充分性:
设a,b,c是三次方程x3+px2+qx+r=0的三个根,
则由根与系数的关系及已知条件有-p=a+b+c>0,
q=ab+bc+ca>0,-r=abc>0,
此即p<0,q>0,r<0.
由此即可知三次方程x3+px2+qx+r=0的系数正负相间,
所以此方程无负根,即方程根均非负;
又由abc>0可知,方程无零根,
故a>0,b>0,c>0;
(2)由(1)的证明可知,α,β,γ均为正数的充要条件是p<0,q>0,r<0.
于是问题转化为证明α,β,γ为三角形三条边的充要条件为p3>4pq-8r
条件的必要性:
若α,β,γ为三角形的三边,
则由三角形的性质必有α+β>γ,β+γ>α,γ+α>β.
于是α+β-γ>0,β+γ-α>0,γ+α-β>0.
由此可得(α+β-γ)(β+γ-α)(γ+α-β)
=(-p-2α)(-p-2β)(-p-2γ)
=-(p+2α)(p+2β)(p+2γ)
=-[p3+2(α+β+γ)p2+4(βγ+γα+αβ)p+8αβγ]
=-(p3-2p3+4pq-8r)=p3-4pq+8r>0
即p3>4pq-8r.
条件的充分性:若p3>4pq-8r,
则p3-4pq+8r>0,
-(α+β+γ)3+4(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)-8αβγ>0,
(α+β+γ)(2αβ+2βγ+2γα-α2-β2-γ2)-8αβγ>0,
[α+(β+γ)][-(β-γ)2+2α(β+γ)-α2]-8αβγ>0,
-α3+α2(β+γ)+α(β-γ)2-(β+γ)(β-γ)2>0,
α2(-α+β+γ)+(β-γ)2(α-β-γ)>0,
(-α+β+γ)[α2-(β-γ)2]>0,
(-α+β+γ)(α+β-γ)(α-β+γ)>0.
此式中至少有一因式大于0,今设-α+β+γ>0,
则必有(α+β-γ)(α-β+γ)>0.
如果α+β-γ<0,α-β+γ<0,
两式相加得2a<0,
即α<0,此与α>0相矛盾
故有-α+β+γ>0,α+β-γ>0,α-β+γ>0,
此即
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此即α,β,γ可作为一个三角形的三条边.
综上所证可知,
方程x3+px2+qx+r=0的三根α,β,γ为一个三角形的三条边的充要条件是
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核心考点
试题【(1)已知a,b,c为实数,证明a,b,c均为正整数的充要条件是a+b+c>0ab+bc+ca>0abc>0;(2)已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α,】;主要考察你对充要条件等知识点的理解。[详细]
举一反三
证明:{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…)
A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 |
C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
e |
e |
a |
e |
e |
b |
e |
e |
a |
b |
A.0 | B.-1 | C.-2 | D.±1 |
1 |
2 |
A.充分而不必要条件 | B.必要而不充分条件 |
C.充分必要条件 | D.既不充分也必要条件 |
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