题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}和{b_n}满足an=

1

n

(b1+b2+…+bn)（n=1，2，3…），求证{b_n}为等差数列的充要条件是{a_n}为等差数列．

答案

证明：必要性若{b_n}为等差数列，设首项b₁，公差d
则an=

1

n

(nb1+

n(n-1)

2

d)=b1+

n-1

2

d
∵an+1-an=

d

2

，∴{a_n}为是公差为

d

2

的等差数列
充分性若{a_n}为等差数列，设首项a₁，公差d
则b₁+b₂+…+b_n=n[a₁+（n-1）d]=dn²+（a₁-d）
nb₁+b₂+…+b_n-1=d（n-1）²+（a₁-d）（n-1），（n≥2）
∴b_n=2dn+（a₁-2d），（n≥2）
当n=1时，b₁=a₁也适合
∵b_n+1-b_n=2d，∴{b_n}是公差为2d的等差数列