题目

题型：不详难度：来源：

给出下列四个命题：
①若|

a

|+|

b

|=0，则

a

=

b

=

0

；
②在△ABC中，若

OA

+

OB

+

OC

=

0

，则O为△ABC的重心；
③若

a

，

b

是共线向量，则

a

•

b

=|

a

|•|

b

|，反之也成立；
④若

a

，

b

是非零向量，则

a

+

b

=

0

的充要条件是存在非零向量

c

，使

a

•

c

+

b

•

c

=

0

．
其中，正确命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

证明：①若|

a

|+|

b

|=0，则|

a

|=|

b

|=0，则

a

=

b

=

0

；
正确；
对于②：如图，延长AO到E，
使OE=AO，交BC于F，
则

OE

=-

OA

．
而由

OA

+

OB

+

OC

=0，
有

OB

+

OC

=-

OA

，∴

OB

+

OC

=

OE

，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∴OE平分BC，即AO所在的直线为△ABC的边BC上的中线．
同理可证，CO，BO所在的直线分别为AB，AC边上的中线．∴O为△ABC的重心．正确；
对于③：若

a

，

b

是共线向量，则它们的夹角θ为0或π，则

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=±|

a

|•|

b

|，故③错；
④若

a

，

b

是非零向量，若存在非零向量

c

，使

a

•

c

+

b

•

c

=（

a

+

b

）•

c

=0，说明向量（

a

+

b

）与

c

垂直，并不能得出

a

+

b

=

0

，故错．
故选B．