若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x），给出下列4个结论：（1）f（2）=0；（2）f（x）是以4为周期的函数；（3）f（x）的图象关于直线 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x），给出下列4个结论：
（1）f（2）=0；（2）f（x）是以4为周期的函数；（3）f（x）的图象关于直线x=0对称；（4）f（x+2）=f（-x）．其中正确命题的序号是______．

答案

（1）∵f（x-2）=-f（x），
∴当x=2时，f（0）=-f（2）=0且由f（x）为奇函数
∴f（2）=0故（1）正确
（2）∵f（x-2）=-f（x）
∴f（x-4）=-f（x-2）=f（x）
∴函数以4为周期的周期函数，故（2）正确
（3）若函数关于x=0对称，则函数f（x）为偶函数，又同时为奇函数，则f（x）=0恒成立，不成立，故（3）错误
（4）由f（x-2）=-f（x）=f（-x）可得f（x-2+4）=f（x+2）=f（-x），故（4）正确
故答案为（1）（2）（4）

核心考点

试题【若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x），给出下列4个结论：（1）f（2）=0；（2）f（x）是以4为周期的函数；（3）f（x）的图象关于直线】；主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]

举一反三

f（x）是奇函数，则①|f（x）|一定是偶函数；②f（x）•f（-x）一定是偶函数；③f（x）•f（-x）≥0；④f（-x）+|f（x）|=0，其中错误的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．4个

D．0个

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设p：|4x-3|≤1；q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

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若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x-y∈A，且x≠0时，

∈A．则称集合A是“好集”．
（Ⅰ）分别判断集合B={-1，0，1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合A是“好集”，求证：若x，y∈A，则x+y∈A；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由．
命题p：若x，y∈A，则必有xy∈A；
命题q：若x，y∈A，且x≠0，则必有

∈A．

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有下列命题：
①在函数y=cos(x-

)cos(x+

)的图象中，相邻两个对称中心的距离为

；
②若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

；
③函数f（x）=ax²-2ax-1有且仅有一个零点，则实数a=-1；
④要得到函数y=sin(

)的图象，只需将y=sin

的图象向右平移

个单位．
⑤非零向量

和

满足|

|=|

|，则

与

的夹角为60°．
其中所有真命题的序号是______．

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下列命题：
（1）在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的必要而非充分条件；
（2）函数f（x）=|sinx-cosx|的最小正周期是π；
（3）在△ABC中，若AB=2

，AC=2

，B=

，则△ABC为钝角三角形；
（4）要得到函数y=sin（

）的图象，只需将y=sin

的图象向右平移

个单位．
其中真命题的序号是______．

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