题目

题型：同步题难度：来源：

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
(Ⅱ)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ。

答案

解：设A、B、C、D分别为第一、二、三、四个问题，
用M_i(i=1，2，3，4)表示甲同学第i个问题回答正确，
用N_i(i=1，2，3，4)表示甲同学第i个问题回答错误，则M_i与N_i是对立事件(i=1，2，3，4)，
由题意得，，
所以，
(Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
则，
由于每题答题结果相互独立，因此





；
(Ⅱ)由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4，
由于每题答题结果相互独立，
所以，


，
，
因此随机变量ξ的分布列为
 
所以。