题目

题型：淄博二模难度：来源：

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为

2

3

，服用B有效的概率为

1

2

．
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．

答案

（1）设A_i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
B_i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A₁）=2×

1

3

×

2

3

=

4

9

，P（A₂）=

2

3

×

2

3

=

4

9

．P（B₀）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
P（B₁）=2×

1

2

×

1

2

=

1

2

，所求概率为：
P=P（B₀•A₁）+P（B₀•A₂）+P（B₁•A₂）
=

1

4

×

4

9

+

1

4

×

4

9

+

1

2

×

4

9

=

4

9

（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，

4

9

）．
P（ξ=0）=（

5

9

）³=

125

729

，
P（ξ=1）=C₃¹×

4

9

×（

5

9

）²=

100

243

，
P（ξ=2）=C₃²×（

4

9

）²×

5

9

=

80

243

，
P（ξ=3）=（

4

9

）³=

64

729

∴ξ的分布列为


∴数学期望Eξ=3×

4

9

=

4

3

．