题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于
坐标原点O.椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
（1）求圆C的方程；
 （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段
OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

  +       =1

解析

(1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)²+(y-n)²=8
已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2
即="4      " ①                                                                       
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m²+n²="8          " ②
联立方程①和②组成方程组解得

故圆的方程为(x+2)²+(y-2)²=8
(2)=5，∴a²=25，则椭圆的方程为               +              =1
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)²+y²=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=，y=即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。