题目
题型:不详难度:来源:
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(1)求动点P的轨迹方程;
(2)直线3x-3my-2=0截动点P的轨迹所得弦长为2,求m的值;
(3)是否存在常数λ,使得∠PBC=λ∠PCB,若存在,求λ的值,若不存在,并请说明理由.
答案
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1 |
3 |
2 |
3 |
∴|PA|-|PB|=
2 |
3 |
4 |
3 |
∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线的右支…(1分)
设它的方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
则
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故所求方程为
x2 | ||
|
y2 | ||
|
(2)解法一:若m=0,则x=
2 |
3 |
此时y=±1,即弦长为2,满足题意.…(5分)
若m≠0,由
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2 |
3m |
1 |
m |
化简得:(27m2-9)x2+12x-3m2-4=0,
△=36×9m2(m2+1),x1x2=
-3m2-4 |
27m2-9 |
1+
|
| ||
9|3m2-1| |
解得m=0,或m=±1.
∵m=±1时,x1x2<0不满足.
∴m=0…(7分)
解法二:设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),
∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B
∴由双曲线定义知|Q1Q2|=e(x1+x2-
1 |
3 |
1 |
3 |
∴x1+x2=
4 |
3 |
若m=0,则x1=x2=
2 |
3 |
4 |
3 |
若m≠0,由
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2 |
3m |
1 |
m |
化简得:(27m2-9)x2+12x-3m2-4=0,x1+x2=
12 |
9-27m2 |
4 |
3 |
解得m=0与m≠0矛盾.∴m=0…(7分)
(直接由图形得出m=0时,|Q1Q2|=2,得2分)
(3)当x=
2 |
3 |
此时∠PCB=45°,∠PBC=90°.
猜想λ=2…(8分)
当x≠
2 |
3 |
1 |
9 |
且tan∠PCB=
y | ||
x+
|
∴tan2∠PCB=
2(
| ||||
1-
|
2y(x+
| ||
(x+
|
2y(x+
| ||||
(x+
|
2y | ||
|
y | ||
|
而tan∠PBC=-tan∠PBx=
y | ||
x-
|
y | ||
|
∴tan2∠PCB=tan∠PBC,
又∵0<∠PBC<π,0<2<PBC<π,
∴2∠PCB=∠PBC,
即存在λ=2,
使得:∠PBC=λ∠PCB.…(10分)
核心考点
试题【已知:三个定点A(-23,0),B(23,0),C(-13,0),动P点满足|AP|-|BP|=23,(1)求动点P的轨迹方程;(2)直线3x-3my-2=0截】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
9 |
y2 |
4 |
A.相交 | B.相切 | C.相离 | D.不确定 |
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)过点A(2,0)的直线交椭圆M于P、Q两点,且满足OP⊥OQ,求直线PQ的方程.
A.1 | B.1或3 | C.0 | D.1或0 |
x |
4 |
y |
3 |
x2 |
16 |
y2 |
9 |
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
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