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题目
题型:不详难度:来源:
已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a,b值,并求S的最大值.
答案
依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0,x2=-
b
a

所以S=
-
b
a
0
(ax2+bx)dx
=(
1
3
ax3+
1
2
bx2
|-
b
a
0

=
1
3
a•(-
b
a
)3
+
1
2
b•(-
b
a
)2

=
1
6a2
b3
(1)…(4分)
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切,
即它们有唯一的公共点
由方程组





x+y=4
y=ax2+bx

得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式△必须为0,
即△=(b+1)2+16a=0,
于是a=-
1
16
(b+1)2
,…(8分)
代入(1)式得:S(b)=
128b3
6(b+1)4
(b>0)

S(b)=
128b2(3-b)
3(b+1)5

令S′(b)=0,在b>0时,得b=3;
当0<b<3时,S′(b)>0;
当b>3时,S′(b)<0.
故在b=3时,S(b)取得极大值,也是最大值,
即a=-1,b=3时,S取得最大值,且Smax=
9
2
.…(12分)
核心考点
试题【已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a,b值,并求S的最大值.】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为e=
1
2
,P为椭圆上一动点.F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,且△PF1F2面积的最大值为


3

(I)求椭圆C的方程;
(II)设直线l与圆x2+y2=1相切且与椭圆C相交于A、B两点,求


OA


OB
的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
若抛物线y2=-2px(p>0)的焦点与双曲线
x2
3
-y2=1
的左焦点重合,则p的值______.
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若抛物线y2=2px的焦点与椭圆
x2
12
+
y2
3
=1
的右焦点重合,则p的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
直线y=kx+1(k∈R)与椭圆
x2
5
+
y2
m
=1
恒有公共点,则m的取值范围是(  )
A.[1,5)∪(5,+∞)B.(0,5)C.[1,+∞)D.(1,5)
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已知椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,其短轴的一个端点到右焦点的距离为2,且点A(


2
,1)在椭圆M上.直线l的斜率为


2
2
,且与椭圆M交于B、C两点.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)求△ABC面积的最大值.
题型:昌平区一模难度:| 查看答案
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