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题目
题型:不详难度:来源:
已知抛物线C1:y2=4ax(a>0),椭圆C以原点为中心,以抛物线C1的焦点为右焦点,且长轴与短轴之比为


2
,过抛物线C1的焦点F作倾斜角为
π
4
的直线l,交椭圆C于一点P(点P在x轴上方),交抛物线C1于一点Q(点Q在x轴下方).
(1)求点P和Q的坐标;
(2)将点Q沿直线l向上移动到点Q′,使|QQ′|=4a,求过P和Q′且中心在原点,对称轴是坐标轴的双曲线的方程.
答案
(1)由题意可知F(a,0),设椭圆方程为
x2
m2
+
y2
n2
=1(m>n>0).
m
n
=


2
,m2-n2=a2
解得m2=2a2,n2=a2
∴椭圆方程为
x2
2a2
+
y2
a2
=1,直线l:y=x-a.
可求出P(
4
3
a,
1
3
a).
y=x-a,
可求出Q((3-2


2
)a,(2-2


2
)a.
(2)将Q点沿直线l向上移动到Q′点,
使|QQ′|=4a,则可求出Q′点的坐标为(3a,2a).
设双曲线方程为
x2
s
-
y2
r
=1(s•r>0).
由于P、Q′在双曲线上,则有
(3a)2
s
-
(2a)2
r
=1,
(
4
3
a)
2
s
-
(
1
3
a)
2
r
=1.
解得
1
s
=
7
11a2
1
r
=
13
11a2

∴双曲线方程为
7
11a2
x2-
13
11a2
y2=1.
核心考点
试题【已知抛物线C1:y2=4ax(a>0),椭圆C以原点为中心,以抛物线C1的焦点为右焦点,且长轴与短轴之比为2,过抛物线C1的焦点F作倾斜角为π4的直线l,交椭圆】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为(  )
A.


3
B.2C.


6
D.2


3
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已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点.
(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),求
1
y1
+
1
y2
的取值范围;
(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF?证明你的结论.
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已知抛物线C:y=x2+4x+
7
2
,过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线.
(1)若抛物线C在点M的法线的斜率为-
1
2
,求点M的坐标(x0,y0);
(2)设P(-2,4)为C对称轴上的一点,在C上一定存在点,使得C在该点的法线通过点P.试求出这些点,以及C在这些点的法线方程.
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已知椭圆
y2
5
+
x2
4
=1的上、下焦点分别为N、M,若动点P满足


MP


MN
=|


PN
|
•|


MN
|

(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点N作直线l与点P的轨迹C交于点A、B,分别以A、B为切点作曲线C的切线,其交点为Q,求


NQ


AB
的值.
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已知抛物线C:





x=2t2
y=2t
,(t为参数)设O为坐标原点,点M(x0,y0)在C上运动,点P(x,y)是线段OM的中点,则点P的轨迹普通方程为______.
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